Question

高中关于椭圆方程的数学题！！！

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标原点,且三角形OMF是等腰直角三角形, 第一问，求椭圆的方程 第二问，过点M分别作直线MA,MB交椭圆与A,B两点，设直线斜率分别为k1,k2，且k1＋k2＝8，证明，直线AB过定点（－1╱2，－2） 求详细的过程！越详细越好！谢谢！

Answer 1

解：由题意，椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0）。
即c=1

又因为三角形OMF是等腰直角三角形
(M必为上顶点或者下顶点）
则b=c=1

得：a^2=b^2+c^2=2
所以椭圆方程为x^2/4+y^2=1
（2）当M（0，1）时，设AB的方程为y=kx+t。联立直线AB与椭圆方程
得：(1+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-4=0.
所以x1+x2=-8kt/(1+4k^2),
x1x2=(4t^2-4)/(1+4k^2).
因为k1+k2=8，
所以(y1-1)/x1+(y2-1)/x2=8.
而y1=kx1+t,y2=kx2+t,代入上式得2k+[(t-1)(x1+x2)/x1x2]=8.
化简得t=(k-4)/2,
所以直线AB的方程为y=kx+(k-4)/2=k(x+1/2)-2
所以AB过定点（-1/2,-2）