Question

求二次函数未知数的取值范围

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足:对任意实数x都有f(x)≥x，且当x∈(1,3)时，
有f(x)≤(x+2)^2／8成立，
1） 证明f(2)=2
2） 设g(x)=f(x)-mx/2，x∈[0,∞)若g(x)图上的点都位于直线y=1/4上方，求实数m的取值范围？

Answer 1

1）证：由f(x)>=x得f(2)>=2;由f(x)≤(x+2)^2／8得f(2)<=2,∴f(2)=2.
(2)解：由1），f(2)=4a+2b+c=2,c=2-4a-2b.
f(x)-x=ax^2+(b-1)x+2-4a-2b>=0,
∴a>0,(b-1)^2-4a(2-4a-2b)=(4a+b-1)^2<=0.∴b=1-4a,c=4a.
由f(x)=ax^2+(1-4a)x+4a≤(x+2)^2／8(x∈（1，3），a>0)得
f(1)<=9/8,化简得a<=1/8.
g(x)-1/4=ax^2+(1-4a-m/2)x+4a-1/4>0(x>=0)
∴（1-4a-m/2）^2-4a(4a-1/4)=m^2/4+(4a-1)m+1-7a<0
或a>0,1-4a-m/2>0,4a-1/4>0.
∴2-8a-2√(16a^2-a)<m<2-8a+2√(16a^2-a),①
或a>1/16,m<2-8a. ②(0<a<=1/8).
1/16<a<=1/8时，①左>1-1/√2,右<7/4.②右<7/4.
综上，m的取值范围是（-∞，7/4）。

Answer 2

（1）由f(x)≥x知f(2)≥2
又2∈(1,3)，所以由f(x)≤(x+2)^2／8知f(2)≤2
所以f(2)=2
（2）g(x)=f(x)-mx/2>1/4

Answer 3

a∈[-1,1]