Question

这个题目如何看出来是用定积分的定义做的？？

这个题目如何看出来是用定积分的定义做的？？Sk应该是面积，而k等于1到n因该是这些面积加到一起，而且有重叠。求大神解答

Answer 1

　　解：按照题设要求，设Qk点坐标为(xk,yk)、Pk点坐标为(k/n,0)，
　　∴切线QkPk的斜率K=(yk-0)/(xk-k/n)。又，曲线y=√(x-1)上Qk点的斜率y'k=(1/2)/√(xk-1)，
　　∴(yk-0)/(xk-k/n)=(1/2)/√(xk-1)，解得xk=2-k/n。
　　∴△QkPkP的面积Sk=(1/2)yk*(xk-k/n)=(1-k/n)^(3/2)。视“1/n”为dx，x=k/n∈(0,1)，按照定积分的定义，
　　∴lim(n→∞)(1/n)∑Sk=lim(n→∞)(1/n)∑(1-k/n)^(3/2)=∫(0,1)(1-x)^(3/2)dx=(-2/5)(1-x)^(5/2)丨(x=0,1)=2/5。
　　供参考。

追问

过程我会，你看清楚问题

Pk是个变动的点，每次变动都会产生一个面积，而这些面积累加在一起必然有很多重复的面积，这显然不符合定积分的精确定义，为什么还用定积分定义解决，我不明白这一点

追答

　　怎么没有看清楚？△QkPkP的面积Sk=(1/2)yk*(xk-k/n)=(1-k/n)^(3/2)，∑Sk
中k是变动的，是有重复的，但这正好是计算“重复”后的“极限”结果，而不影响计算过程。就如同往一个有限的“框”内“连续”地添加微小的重量，当“框”满之时，求证框内的总重量一样。
　　供参考。

追问

你再看看题目

Sk是表示谁的面积？而最后那个累加符号，是把这些面积累加在一起 不是把一个小框框累加

追答

　　建议你再仔细“回味”一下定积分的定义【通常定义下的区间[a,b]，非特定简化区间如“[0,1]”等，看看a到b之间“面积”累计时，转换过程围绕“∫(a,b)f(x)dx=(b-a)f(a)+∫(a,b)[f(x)-f(a)]dx”，看看有没有重复的部分？】。另外，本题中，从k=n-1开始，“逆回”到k=1，是满足定义条件的。
　　供参考。