Question

已知数列{an}满足a1=3,an-2anan+1-an+1=0,求该数列的通项公式an

已知数列{an}满足a1=3,an-2anan+1-an+1=0
,（1）求该数列的通项公式an
（2）求证｛1/an｝是等差数列

Answer 1

an-2ana(n+1)-a(n+1)=0
an-a(n+1)=2ana(n+1)
两边同除以an·a(n+1)得：
1/a(n+1)-1/an=2
即数列{1/an}为等差数列，d=2,首项为1/a1=1/3
1/an=1/3+2(n-1)=(6n-5)/3

an=3/(6n-5)

Answer 2

两个问应该先问（2），再问（1）
等式两边同时除以anan+1，
得到1/an+1 - 1/an =2.
说明1/an是一个公差为2的等差数列。
那么得到1/an+1 =1/ a1+2n
得到1/an+1=1/3+2n
1/an=1/3+2(n-1)=2n-5/3
an=3/(6n-5)

Answer 3

由an-2ana(n+1)-a(n+1)=0，推出a(n+1)=an/(2an+1),取倒数得：
1/a(n+1)=2+1/an,所以1/a(n+1)-1/an=2，那么{1/an}是首项为1/3,公差为2的等差数列；可得{1/an}=2n-5/3,那么an=3/(6n-5)