Question

已知数列[an}满足，a1=1，a2=2，a（n+2）={an+a(n+1)}/2，令bn=a（n+1)-an，证明{] {bn}wei

Answer 1

题目不全！

a(n+2)={an+a(n+1)}/2
2a(n+2)=an+a(n+1)

两边同时减去2a(n+1)得：
2[a(n+2)-a(n+1)]=an-a(n+1)

令bn=a(n+1)-an，代入得：
2b(n+1)=-bn
b(n+1)/bn=-1/2
数列{bn}为等比数列，公比q=-1/2,b1=a2-a1=1

bn=(-1/2)^(n-1)

即:
a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
…………………………
a2-a1=(-1/2)^0=1
以上n个式子相加：
a(n+1)-a1=1+(-1/2)+(-1/2)^2+……+(-1/2)^(n-1)=(2/3)*[1-(-1/2)^n]

所以a(n+1)=(2/3)*[1-(-1/2)^n]+1
an=(2/3)*[1-(-1/2)^(n-1)]+1