Question

求解几道不定积分和定积分的问题,谢谢了.

Answer 1

第一题=∫(X^2+X^(-2)/X^3DX=∫X^(-1)+X^(-5)DX=ln|x|-4/x^(-5)+c
第二题设arcsinx=t，x=sint
∫(arcsinx)^2dx=∫t^2costdt=t^2sint-∫2tsintdt+c=t^2sint+2tcost-∫2costdt+c=t^2sint+2tcost-2sint+c
第三题两边求导得sinx/f(x)=-sinx/(1+cos²x)，所以f(x)=-(1+cos²x)，所以f(x)=-(3/2+cos²x-1/2)=-(3/2+cos2x/2)，所以∫f(X)dx=-3x/2-sin2x/4+c
第四题=∫[0，π/2]√(sinx)cosxdx=2/3(sinx)^(3/2)|[0，π/2]=2/3
再加上∫[π/2，π]-√(sinx)cosxdx=-2/3(sinx)^3/2|[π/2，π]=2/3
所以最后结果为4/3
第五题设x=√2sint，t∈[0，π/2]
∫[0，√2]√(2-x^2)=∫[0，π/2]√2cost√2costdt=∫[0，π/2]2cos²tdt=∫[0，π/2]cos2t+1dt=(sin2t)/2+t|[0，π/2]=π/2