Question

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x/e∧x,记F(x)=f(x)-g(x). （1）求证:F

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x/e∧x,记F(x)=f(x)-g(x).
（1）求证:F（x）在区间（1,+∞）内有且仅有一个实根
（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）= min{ f(x)，g(x)}，若方程 m（x）=c在区间 （1,+∞）内有两个不相等的实根x1,x2（x1＜x2），记 F（x）在（1,+∞）内的实根为x0.求证:（x1+x2）/2＞x0.

Answer 1

1)
定义域x>0
F'(x)=lnx+1+(x-1)/e^x,当x>1
lnx>0,(x-1)/e^x>0
所以F'(x)>0,增函数
F(1)=-1/e<0,F(2)=2ln2-2/e^2>0
根据零点连续原则，在1<x<2区间
有且仅有一个零点
2
0<x<1,f(x)=xlnx<0,g(x)=x/e^x>0
有f(x))<g(x)....1)
x>1,F(x)为增函数，
因为x0为F（x)零点，F(x0)=f(x0)-g(x0)=0
所以1<x<x0,f(x)<gx)...2)
x>x0,F(x)>Fx0)=0,f(x)>gx).
所以函数m(x)表达式：
m(x)=xlnx,0<x<x0
m(x)=x/e^x,x>x0

若m(x)=c不等实数根x1,x2,(1<x1<x0<x2)
m(x1)=m(x2)
1<x<x0,m'(x)=lnx+1>0,增函数
x>x0,m'(x)=(1-x)/e^x<0,减函数
假设(x1+x2)/2>x0,有x2>2x0-x1>x0>x1
有m(x1)=m(x2)<m(2x0-x1)，
所以需要：x1lnx1<(2x0-x1)/e^(2x0-x1),1<x1<x0
下面证明
假设h(x)=xlnx-(2x0-x)/e^(2x0-x),1<x<x0
x0为F(x)零点，F(x0)=x0lnx0-x0/e^x0=h(x0)=0
x>1时，g'(x)=(1-x)/e^x<0减函数
0<x<1时，g'(x)=(1-x)/e^x>0增函数
2x0-x>1,所以g(2x0-x)=(2x0-x)/e^(2x0-x)<g(1)=1/e
h'(x)=linx+1+1/e^(2x0-x)-(2x0-x)/e^(2x0-x)>1-1/e>0
h(x)在1<x1<x0为增函数,h(x)<h(x0)=0
就是h(x)=xlnx-(2x0-x)/e^(2x0-x)<h(x0)=0,1<x<x0
1<x1<x0
x1lnx1-(2x0-x1)/e^(2x0-x1)<0
x1lnx1<(2x0-x1)/e^(2x0-x1)
m(x2)=m(x1)<m(2x0-x1)
因为m(x)在x>1减函数
x2>2x0-x1
就是(x1+x2)/2>x0