Question

第二十二题，求完整过程

Answer 1

1、因为f(x)≥x
所以f(2)≥2
又因当x∈(1,3)时，f(x)≤(x+2)²/8恒成立
所以f(2)≤(2+2)²/8=2
所以f(2)=2
2、因f(2)=4a+2b+c=2，f(-2)=4a-2b+c=0
所以b=1/2、c=1-4a
则f(x)=ax²+x/2+1-4a
所以ax²+x/2+1-4a≤(x+2)²/8对于x∈(1,3)时恒成立
化简整理得(8a-1)x²≤4(8a-1)对于x∈(1,3)时恒成立
当8a-1>0时，解得x∈[-2，2]不合题意
当8a-1<0时，解得x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)不合题意
所以8a-1=0，即a=1/8，c=1/2
故f(x)=x²/8+x/2+1/2
3、g(x)=f(x)-mx/2=x²/8+(1-m)x/2+1/2
因为当x∈[0,+∞)时，g(x)图像在y=1/4上方，即g(x)>1/4
所以h(x)=g(x)-1/4=x²/8+(1-m)x/2+1/4>0对于x∈[0,+∞)恒成立
当判别式△＝(1-m)²/4-1/8<0时，上式能恒成立，
所以m∈(1-√2/2,1+√2/2)
当判别式△＝(1-m)²/4-1/8≥0时，h(x)的对称轴x=2(m-1)≤0且h(0)>0上式才能恒成立
所以m∈(-∞，1-√2/2]
综合起来m的取值范围是(-∞，1+√2/2]