Question

定积分x(sinx)³dx 在0到π上 求过程谢谢

Answer 1

A＝∫(0到π)
x(sinx)³dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π)
π(sinx)³dt－∫(0到π)
t(sinx)³dt
所以A＝π/2×∫(0到π)
(sinx)³dx
又(sinx)³以π为周期，且是偶函数
所以∫(0到π)(sinx)³dx＝∫(-π/2到π/2)
(sinx)³dx＝2∫(0到π/2)
(sinx)^6dx,套用定积分公式，∫(0到π)
(sinx)³dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2
原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

可以用一个特殊积分公式、对称性及Wallis公式可以如下图得出答案。