Question

求下列极限，第(8)题打问号这一步为什么相等？，等式右边的括号里面为

求下列极限，第(8)题打问号这一步为什么相等？，等式右边的括号里面为什么减一？

Answer 1

解：∵lim(x→0)tanx/x=1，∴tanx/x-1→0。
而，(tanx/x)^(1/x^2)=e^[(1/x^2)ln(tanx/x)]。∴x→0时，ln(tanx/x)=ln(tanx/x-1+1)~tanx/x-1。∴lim(x→0)(tanx/x)^(1/x^2)=e^[lim(x→0)(tanx/x-1)/x^2]。供参考。
【其实，本题可以不用“这么复杂”。用无穷小量替换、基本极限公式可较“迅速”求解。∵x→0时，tanx~x+(1/3)x^3，∴原式=lim(x→0)[1+(1/3)x^2]^(1/x^2)=e^(1/3)】。