Question

高数。求条件极值。为什么只算驻点，不算端点？？





Answer 1

答：
1、你的想法非常的好，而且也是对的，下面分析给你；
2、拉格朗日乘数法是必要条件法，而不是充分条件，这就是说，如果连续的多元函数可微且在连续区域内存在极值点（最值点），那么其满足拉格朗日乘数法，该方法本质还是降元求极值法，由一元极值求法我们可知，如果驻点存在，有可能极值（最值）存在，如果驻点不存在，那么极值（最值）不一定不存在！同理，这个条件也适合多元函数；也就是说，拉格朗日乘数法求得的驻点，必须要验证；
3、微分中值定理，积分中值定理，介质定理，零点定理，最值定理，在多元连续函数中也是成立的，而且这些定理才是定义多元连续函数性质的本质特征性定理，因此，如果拉格朗日乘数法计算出驻点后，实际上是必须要结合边界点进行判断的，这个和一元函数没有什么区别；
4、多元函数的微分中值定理，介质定理，最值定理证明非常繁琐，已经超出了高数的要求，因此，对于拉格朗日乘数法的充分条件，高数中并没有讨论，但是，验证驻点和边界点，这个要求也必须的，你的想法是没有问题的；
5、因为超纲的问题，高数中所给的条件极值不可能出现不存在的情况，因此，在后续做题时，驻点是极值点可以一句话带过，但是从知识的完备性考虑，边界点不是极值点也可一句话带过就行了！