Question

一道高数题，（据说是考研真题，不知道是不是），希望高手帮帮忙

设 X1=10,Xn+1=√(6+Xn） （n=1,2,3,.....） 证明数列{Xn}有极限，并求此极限。

在书中给了一种方法，就是先用数学归纳法证数列是递减的，再证明数列有界的，就可以证明数列有极限，相应的极限也就求出来了。这种是常规做法，我明白。
但书中说，还可以先假设极限存在并求出，然后利用定义等方法进行验证。但没给出方法，谁能告诉我这个怎么解啊？
我知道这个步骤可能比较的麻烦一些些，谁能给我详细的写一下，我还会追加给分的。

Answer 1

0 < x_{n+1}-3 = (x_n-3)/[sqrt(x_n+6)+ 3] < (x_n-3)/3

补充：
不至于吧，都写成这样了还不够吗，那么我再多写两句。
根据前面的可以归纳出
|x_n-3| < |x_1-3|/3^{n-1}
然后随便你用夹逼准则还是用定义，再不会就没希望了。

Answer 2

假设数列{xn}的极限为a,则有a+1=√(6+a）,解方程可以得出a的值，然后用极限的定义分析出：当n趋于无穷时，abs(xn-a)是无穷小量就可以了。

Answer 3

设极限是A 那么把A代入上试中，A=√(6+A） 求出A 就是假设极限存在并求出的方法，然后根据极限定义证明，楼主自己代入吧。