Question

请问各位，二阶线性齐次微分方程的两个解y1,y2是方程的基本解组的充要条件是什么？ 谢

Answer 1

证：反证法！
要证y1，y2之比不为常数，即证明y1，y2线性无关！
假设y1，y2线性相关，设y2＝ky1，
因为y1，y2是二阶非齐次线性方程的特解，故它们都不是常数0，且因为y1≠y2，所以k≠0，1.
这样，一方面有
y1''＋py2'＋qy2＝f(x)，
另一方面又有
y2''＋py2'＋qy2＝ky1''＋pky1＝k(y1''＋py1'＋qy1)＝kf(x).
于是有f(x)＝kf(x)(k≠0，1)，即f(x)≡0，
这与非齐次方程相矛盾，所以假设错误！
因此，
y1，y2线性无关，即y1，y2之比不可能为常数！