Question

高等数学。第58题。求具体解题过程。

Answer 1

解：
分析：显然这个是泰勒定理的应用！
这里用一般证明泰勒公式的思路去解，最后结论你自己再看看
令：
f(x)=-1+x²+kx²(x-1)/3!，其中k是使等式成立的常数
再构造函数：
g(x)=f(x)+1-(kx³/6)+(k-6)x²/6
又∵
g(0)=f(0)+1=0
g(1)=f(1)=0
根据罗尔定理：
∃ζ∈(0,1)，使得：
g'(ζ)=0
而：
g'(x)=f'(x)-kx²/2+(k-6)x/3
上式中，显然：g'(0)=0
根据罗尔定理：
∃η∈(0,ζ)⊂(0,1)，使得：
g''(η)=0
g''(x)=f''(x)-kx +(k-6)/3
g''(0)=f''(0)+(k-6)/3
上式中，必定存在常数k=K，使得：g''(0)=0，则：
f''(0)=6-K
根据罗尔定理：
∃ξ∈(0,η)∈(0,ζ)⊂(0,1)，使得：
g'''(ξ)=0
g'''(ξ)=f'''(ξ)-K，即：
f'''(ξ)=K
因此：
f(x)=-1+x²+[x²(x-1)]f'''(ξ)/3!