Question

求函数y=(x^2-3x+3)/(x-2) (x>2)的最小值 (数学高手请进)(请给予详细解答)(谢谢)

Answer 1

用换元法，设t=x-2,t＞0，则
y=(x²-3x+3)/(x-2)
=[(t+2)²-3(t+2)+3]/t
=(t²+t+1)/t
=t + 1/t + 1
≥2√(t·1/t) + 1 (当且仅当t=1/t,也就是t=1时，取“=”，此时x=t+2=3）
=3

因此当x=3时，函数y=(x²-3x+3)/(x-2) (x＞2)取得最小值3。

Answer 2

用a+2来代替x，即a+2=x，则a>0

代入原方程，可以得到：
y=(a^2+a+1)/a
y=a+1/a+1

根据基本不等式，在a>0时，a+1/a>=2，当且仅当a=1/a时。
因此a=1时y有最小值3，此时x=3。
代入原式验算正确。

其中a+1/a>=2这个式子的来源为：
(a-1)^2>=0
即，a^2+1>=2a
在a>0时两边除以a可得
a+1/a>=2

Answer 3

y=(x^2-3x+3)/(x-2)
y(x-2)=x^2-3x+3
x^2-(y+3)x+2y+3=0
(y+3)^2-4(2y+3)>=0
y^2>=3
y>=根号3，或y<=-根号3
而：因x>2, 所以：y=(x^2-3x+3)/(x-2)=[(x-(3/2))^2+(3/4)]/(x-2)>0
所以：y>=根号3
最小值=根号3