高数。。第十题。。
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原式=lim(n->∞) (1/n)*[(1+1/n)(1+2/n)...2*(n^n)]^(1/n)
=lim(n->∞) [(1+1/n)(1+2/n)...2]^(1/n)
=lim(n->∞) e^[(1/n)*ln(1+1/n)(1+2/n)...2]
=lim(n->∞) e^[(1/n)*∑(k=1->n)ln(1+k/n)]
=e^[∫(0,1)ln(1+x)dx]
=e^{[(1+x)ln(1+x)-x]|(0,1)}
=e^(2ln2-1)
=4/e
=lim(n->∞) [(1+1/n)(1+2/n)...2]^(1/n)
=lim(n->∞) e^[(1/n)*ln(1+1/n)(1+2/n)...2]
=lim(n->∞) e^[(1/n)*∑(k=1->n)ln(1+k/n)]
=e^[∫(0,1)ln(1+x)dx]
=e^{[(1+x)ln(1+x)-x]|(0,1)}
=e^(2ln2-1)
=4/e
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