Question

关于间断点的判断问题。 可去间断点:导数存在，但函数在该点无定义

关于间断点的判断问题。

可去间断点:导数存在，但函数在该点无定义
跳跃间断点:左右导数存在但不相等
第二类间断点:左右导数里，至少一个不存在

提问: 无定义 且 左右导数存在但不相等 的点是哪一类？
无定义 且 左右导数里至少一个不存在 的点是哪一类？

Answer 1

首先，可导必然连续，连续不一定可导。
所以你对间断点的定义完全记错了。
可去间断点的定义是：极限存在，但极限不等于函数值，不一定是函数在该点无定义，可以有定义，但是定义的函数值不等于极限值即可。

跳跃间断点的定义：左右极限存在，但是不相等。

第二类间断点的定义：左右极限中，至少一个不存在（含极限无穷大的情况）

以上定义中，说的都是极限而不是导数。是你不知道为什么把极限都改为了导数。

可去间断点的情况
例如这个函数
f（x）=x（x≠0）；1（x=0）
这个分段函数，在x≠0的时候，f（x）=x；在x=0的时候x=1
那么在x=0点的极限就是lim（x→0）f（x）=lim（x→0）x=0≠f（0）
所以极限存在，极限是0，但是不等于函数值f（0），f（0）是等于1的。所以就是可去间断点。
还有g（x）=x²/x，这个函数在x≠0的时候，g（x）=x，在x=0的时候，无定义
所以x=0的极限是lim（x→0）g（x）=lim（x→0）x=0
极限存在，等于0，但是g（0）无定义，所以是可去间断点。

左右极限都存在，但是不相等的情况
h（x）=x（x≤0）；x+1（x＞0
这个分段函数，
在x=0点在左极限lim（x→0-）h（x）=lim（x→0-）x=0
右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）（x+1）=1
左右极限都存在，但是不相等。所以是跳跃间断点。

左右极限不存在的情况
例如k（x）=1/x
在x=0点的左极限是-∞，右极限是+∞，而极限∞（含±∞）是极限不存在的情况
所以k（x）在x=0点处左右极限都不存在。

Answer 2

先找出无定义的点，就是间断点。然后用左右极限判断是第一类间断点还是第二类间断点，第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点，如果该点左右极限都存在，则是第一类间断点，其中如果左右极限相等，则是第一类可去间断点，如果左右极限不相等，则是第一类不可去间断点，即第一类跳跃间断点。如果左右极限中有一个不存在，则第二类间断点。

Answer 3

间断点导数就不会存在的。你看导数定义的那个分子分母。只有连续了那个导数分子才会算出来一个无穷小和分母的无穷小相除等于一个数。间断点都不可导的电影