Question

计算哈夫曼编码

计算哈夫曼编码假设字符a、b、c、d、e、f的使用频度分别为0.04，0.06，0.13，0.25，0.28，0.33，写出a、b、c、d、e、f的Huffman（哈夫曼）编码和该哈夫曼树的带权路径长度。

Answer 1

六个权值(频率)是 0.04 0.06 0.13 0.25 0.28 0.33

(1) 从小到大排序 0.04 0.06 0.13 0.25 0.28 0.33 (这是有序序列)
(2) 每次提取最小的两个结点,取结点0.04和结点0.06,组成新结点N0.10,其权值=0.04+0.06=0.10,
    取数值较小的结点作为左分支,结点0.04为左分支,结点0.06为右分支.
(3) 将新结点N0.10放入有序序列,保持从小到大排序:
    N0.10 0.13 0.25 0.28 0.33
(4) 重复步骤(2),提取最小的两个结点,N0.10与结点0.13组成新结点N0.23,其权值=0.10+0.13=0.23,
    N0.10的数值较小,作为左分支,结点0.13就作为右分支.
(5) 将新结点N0.23放入有序序列,保持从小到大排序:
    N0.23 0.25 0.28 0.33
(6) 重复步骤(2),提取最小的两个结点,N0.23与结点0.25组成新结点N0.48,其权值=0.23+0.25=0.48,
    N0.23的数值较小,作为左分支,结点0.25就作为右分支.
(7) 将新结点N0.48放入有序序列,保持从小到大排序:
    0.28 0.33 N0.48
(8) 重复步骤(2),提取最小的两个结点,结点0.28与结点0.33组成新结点N0.61,其权值=0.28+0.33=0.61,
    结点0.28的数值较小,作为左分支,结点0.33就作为右分支.
(9) 将新结点N0.61放入有序序列,保持从小到大排序:
    N0.48 N0.61
(10)重复步骤(2),提取剩下的两个结点,N0.48与N0.61组成新结点N1.09,其权值=0.48+0.61=1.09,
    数值较小的N0.48作为左分支,N0.61就作为右分支.
    有序序列已经没有结点,得到"哈夫曼树":

                       N1.09
                  /             \
                N0.48         N0.61 
              /      \       /     \
            N0.23   0.25   0.28   0.33
          /      \
        N0.10   0.13
       /    \
     0.04  0.06

带权路径长度(WPL):
根结点N1.09到结点0.33的路径长度是2,结点0.33的带权路径长度是0.33*2
根结点N1.09到结点0.28的路径长度是2,结点0.28的带权路径长度是0.28*2
根结点N1.09到结点0.25的路径长度是2,结点0.25的带权路径长度是0.25*2
根结点N1.09到结点0.13的路径长度是3,结点0.13的带权路径长度是0.13*3
根结点N1.09到结点0.06的路径长度是4,结点0.06的带权路径长度是0.06*4
根结点N1.09到结点0.04的路径长度是4,结点0.04的带权路径长度是0.04*4
所以,哈夫曼树的带权路径长度(WPL)等于
0.33*2 + 0.28*2 + 0.25*2 + 0.13*3 + 0.06*4 + 0.04*4 = 2.51

哈夫曼编码:
规定哈夫曼树的左分支代表0,右分支代表1.
从根结点N1.09到结点0.33,先后经历两次右分支,结点0.33的编码就是11
从根结点N1.09到结点0.28,先经历右分支,后经历左分支,结点0.28的编码就是10
从根结点N1.09到结点0.25,先经历左分支,后经历右分支,结点0.25的编码就是01
从根结点N1.09到结点0.13,先经历两次左分支,后经历右分支,结点0.13的编码就是001
从根结点N1.09到结点0.06,先经历三次左分支,后经历右分支,结点0.06的编码就是0001
从根结点N1.09到结点0.04,先后经历四次左分支,结点0.04的编码就是0000
得出所有结点的"哈夫曼编码":
字符 f (频率0.33): 11
字符 e (频率0.28): 10
字符 d (频率0.25): 01
字符 c (频率0.13): 001
字符 b (频率0.06): 0001
字符 a (频率0.04): 0000


//C语言测试程序(来自其他网友)
//
//输入构造哈夫曼树中带权叶子结点数(n)：6
//输入6个整数作为权值：4 6 13 25 28 33 (将频率的小数形式改为整数形式)
//可以得出哈夫曼树的广义表形式,带权路径长度,以及哈夫曼编码.

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef int ElemType;
struct BTreeNode
{
    ElemType data;
    struct BTreeNode* left;
    struct BTreeNode* right;
};

//1、输出二叉树，可在前序遍历的基础上修改。
//   采用广义表格式，元素类型为int
void PrintBTree_int(struct BTreeNode* BT)
{
    if (BT != NULL)
    {
        printf("%d", BT->data); //输出根结点的值
        if (BT->left != NULL || BT->right != NULL)
        {
            printf("(");
            PrintBTree_int(BT->left); //输出左子树
            if (BT->right != NULL)
                printf(",");
            PrintBTree_int(BT->right); //输出右子树
            printf(")");
        }
    }
}

//2、根据数组 a 中 n 个权值建立一棵哈夫曼树，返回树根指针
struct BTreeNode* CreateHuffman(ElemType a[], int n)
{
    int i, j;
    struct BTreeNode **b, *q;
    b = malloc(n*sizeof(struct BTreeNode));
    //初始化b指针数组，使每个指针元素指向a数组中对应的元素结点
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        b[i] = malloc(sizeof(struct BTreeNode));
        b[i]->data = a[i];
        b[i]->left = b[i]->right = NULL;
    }
    for (i = 1; i < n; i++)//进行 n-1 次循环建立哈夫曼树
    {
        //k1表示森林中具有最小权值的树根结点的下标，k2为次最小的下标
        int k1 = -1, k2;
        //让k1初始指向森林中第一棵树，k2指向第二棵
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            if (b[j] != NULL && k1 == -1)
            {
                k1 = j;
                continue;
            }
            if (b[j] != NULL)
            {
                k2 = j;
                break;
            }
        }
        //从当前森林中求出最小权值树和次最小
        for (j = k2; j < n; j++)
        {
            if (b[j] != NULL)
            {
                if (b[j]->data < b[k1]->data)
                {
                    k2 = k1;
                    k1 = j;
                }
                else if (b[j]->data < b[k2]->data)
                    k2 = j;
            }
        }
        //由最小权值树和次最小权值树建立一棵新树，q指向树根结点
        q = malloc(sizeof(struct BTreeNode));
        q->data = b[k1]->data + b[k2]->data;
        q->left = b[k1];
        q->right = b[k2];

        b[k1] = q;//将指向新树的指针赋给b指针数组中k1位置
        b[k2] = NULL;//k2位置为空
    }
    free(b); //删除动态建立的数组b
    return q; //返回整个哈夫曼树的树根指针
}

//3、求哈夫曼树的带权路径长度
ElemType WeightPathLength(struct BTreeNode* FBT, int len)//len初始为0
{
    if (FBT == NULL) //空树返回0
        return 0;
    else
    {
     if (FBT->left == NULL && FBT->right == NULL)//访问到叶子结点
     {
            printf("+ %d * %d ",FBT->data,len);
            return FBT->data * len;
     }
     else //访问到非叶子结点，进行递归调用，
     {    //返回左右子树的带权路径长度之和，len递增
     return WeightPathLength(FBT->left,len+1)+WeightPathLength(FBT->right,len+1);
     }
    }
}

//4、哈夫曼编码（可以根据哈夫曼树带权路径长度的算法基础上进行修改）
void HuffManCoding(struct BTreeNode* FBT, int len)//len初始值为0
{
    //定义静态数组a，保存每个叶子的编码，数组长度至少是树深度减一
    static int a[10];
    int i;
    //访问到叶子结点时输出其保存在数组a中的0和1序列编码
    if (FBT != NULL)
    {
        if (FBT->left == NULL && FBT->right == NULL)
        {
            printf("权值为%d的编码：", FBT->data);
            for (i = 0; i < len; i++)
                printf("%d", a[i]);
            printf("\n");
        }
        else //访问到非叶子结点时分别向左右子树递归调用，
        {    //并把分支上的0、1编码保存到数组a的对应元素中，
             //向下深入一层时len值增1
            a[len] = 0;
            HuffManCoding(FBT->left, len + 1);
            a[len] = 1;
            HuffManCoding(FBT->right, len + 1);
        }
    }
}

int main()
{
    int n, i;
    ElemType* a;
    struct BTreeNode* fbt;
    printf("输入构造哈夫曼树中带权叶子结点数(n)：");
    while(1)
    {
        scanf("%d", &n);
        if (n > 1)
            break;
        else
            printf("重输n值：");
    }
    a = malloc(n*sizeof(ElemType));
    printf("输入%d个整数作为权值：", n);
    for (i = 0; i < n; i++)
        scanf(" %d", &a[i]);
    fbt = CreateHuffman(a, n);
    printf("广义表形式的哈夫曼树：");
    PrintBTree_int(fbt);
    printf("\n");
    printf("哈夫曼树的带权路径长度：\n");
    printf("=");
    printf("\n=%d\n", WeightPathLength(fbt, 0));
    printf("树中每个叶子结点的哈夫曼编码：\n");
    HuffManCoding(fbt, 0);

    return 0;
}

Answer 2

Answer 3