Question

一平面过点(0,1,-1)且平行于向量(2,1,1),(3,0,1)，求平面方程

Answer 1

x+y-3z-4=0。

解：P(x,y,z)是所求平面上任意一点，则

(x-0,y-1,z+1)=0,

(x,y-1,z+1)(1,1,-3)=0,

x+y-1-3(z+1)=0,

x+y-3z-4=0。

在空间坐标系内，平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。

由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

Answer 2

a,b外积为（1,1,-3)（心算的，可能不准），即为平面法向量。故可设平面方程为x+y-3z=a,将（1,0,-1)代入得a＝4.故平面方程为x+y-3z-4=0。
（躺在床上心算的，计算可能有错）

Answer 3

解：P(x,y,z)是所求平面上任意一点，则
(x-0,y-1,z+1)[(2,1,1)×(3,0,1)]=0,
(x,y-1,z+1)(1,1,-3)=0,
x+y-1-3(z+1)=0,
x+y-3z-4=0.