Question

从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列...

从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．设数列{an}是一个首项为a1、公差为d（d≠0）的无穷等差数列． （1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q． （2）若a1=7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由． （3）若a1=1，从数列{an}中取出第1项、第m（m≥2）项（设am=t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题设，得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），得d2=2a1d，又d≠0，
于是d=2a1，故其公比q=a2a1=3．
（2）设等比数列为{bm}，其公比q=a6a2=32，bm=a2qm-1=8d•(32)m-1，
由题设an=a1+（n-1）d=（n+6）d．
假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，
则对任意自然数m（m≥3），都存在n∈N*，使an=bm，
即(n+6)d=8d•(32)m-1，
得n=8(32)m-1-6，
当m=5时，n=8(32)5-1-6=692∉N*，与假设矛盾，
故该数列不为{an}的无穷等比子数列．
（3）①设{an}的无穷等比子数列为{br}，其公比ama1=b2b1=t（t≠1），得br=tr-1，
由题设，在等差数列{an}中，d=am-a1m-1=t-1m-1，an=1+(n-1)t-1m-1，
因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列，
所以对任意自然数r（r≥3），都存在n∈N*，使an=br，
即1+(n-1)t-1m-1=tr-1，
得n=tr-1-1t-1(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m-1均为正整数，
可知tr-2+tr-3+t+1必为正整数，
又d≠0，
故t是大于1的正整数．
②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列．
即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．
在等比数列{br}中，br=tr-1，
在等差数列{an}中，d=am-a1m-1=t-1m-1，an=1+(n-1)t-1m-1，
若br为数列{an}中的第k项，则由br=ak，得tr-1=1+(k-1)t-1m-1，
整理得k=tr-1-1t-1(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由t，m-1均为正整数，得k也为正整数，
故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项，得证．
综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．