Question

轮换对称不等式问题

Answer 1

设函数为f(a，b，c)，其中ab+bc+ca=1,①
即c=(1-ab)/(a+b),
则函数可化为f(a,b)=1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c)
=1/(a+b)+(a+b)/(a²+1)+(a+b)/(b²+1),
бf(a,b)/бa=-1/(a+b)²+1/(a²+1)-2a²/(a²+1)²-2ab/(a²+1)²+1/(b²+1)②，
бf(a,b)/бb=-1/(a+b)²+1/(b²+1)-2b²/(b²+1)²-2ab/(b²+1)²+1/(a²+1)③,
当局部具有极值时两者均为0，联立得a=b,
代回②得-1/(4a²)+2/(a²+1)-4a²/(a²+1)²=0,
(a²+1)²-8a²(a²+1)+16(a²)²=0,
a^4+2a²+1-8a^4-8a²+16a^4=0,
9a^4-6a²+1=0
3a²-1=0,a=±√3/3，
所以非负实根为a=b=√3/3，此时有局部极值，
代入①得此时c=√3/3，
代入f(a,b,c)得值为3√3/2，
验证为极小值。即极小值为3√3/2。

追答

代换时尚有a=0未讨论 ，当a=0时，bc=1，
则f(a,b,c)=1/b+1/c+1/(b+c)=b+1/b+b/(b²+1),
极值时1-1/b²+1/(b²+1)-2b²/(b²+1)²=0,
b²(b²+1)²-(b²+1)²+b²(b²+1)-2b^4=0,
b^6+2b^4+b²-b^4-2b²-1+b^4+b²-2b^4=0,
b^6-1=0,
b=1，代入bc=1，得c=1，
此时f(a,b,c)=1+1+1/2=2.5＜3√3/2≈2.5981，
所以该式最小值应为2.5，
此时(a,b,c)有三种取值：
(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)。

追问

你这是用到高等数学方法，偏导数都用上了！有初等解法么，不用涉及高等数学？

Answer 2

轮换对称式, 因为ab+bc+ca=1, 当ab=bc=ca时, (ab)(bc)(ca)有最大值.
记a=b=c=k, (ab)(bc)(ca)=k^6有最大值, 则(ab)+(bc)+(ca)=3k^2有最大值，原式=3/(2k)有最小值
当3k^2=1,k=1/(√3)时, 最小值=3/(2k)=(3√3)/2