Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°。

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°。
设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式。
图

Answer 1

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
BC²=AB²+AC²=1+1=2,BC=√2,
∠ABC=∠ACB=∠ADE=45°;

过A作AF垂直于BC.交BC于F,
AF=BF=BC/2=√2/2,
DF=BF-BD=√2/2-x,
AD²=AF²+DF²=(√2/2)²+(√2/2-x)²,
AD=√[1/2+(√2/2-x)²],

△AED与△ADC中,
∠ADE=∠ACD=45°,
∠EAD=∠CAD,
故∠AED=∠ADC,
因此△AED∽△ADC,[AAA]
AE:AD=AD:AC
y:√[1/2+(√2/2-x)²]=√[1/2+(√2/2-x)²]:1,
y={√[1/2+(√2/2-x)²]}²=[1/2+(√2/2-x)²],
y=x²-(√2)x+1;