Question

高等数学问题

请问，用定积分求曲线所围成的公共部分的面积时，积分的上下限怎么确定？例如：r=3cost及r=1+cost。谢谢！

Answer 1

这种问题都是需要具体问题具体分析的，所以如果你只是笼统地问“用定积分求曲线所围成的公共部分的面积时，积分的上下限怎么确定？”是没有办法回答的。
“例如”中的题目，曲线是用极坐标表示的，首先在平面里画出这两条曲线，这是确定积分限必不可少的步骤，然后确定要求的那块平面图形（图中涂色部分），由于图形边界曲线需要用不同的解析式表示，就需要分块求面积。假如不利用对称性，这个图形的面积需要用三个定积分的和表示：
(1)积分区间[-π/2，-π/3]，被积函数(1/2)*(3cost)^2
(2)积分区间[-π/3，π/3]，被积函数(1/2)*(1+cost)^2
(3)积分区间[π/3，π/2]，被积函数(1/2)*(3cost)^2
如果利用对称性，只求x轴上方部分的面积，然后乘以2就得到整个图形的面积。x轴上方部分的面积需要用两个定积分的和表示：
(1)积分区间[0，π/3]，被积函数(1/2)*(1+cost)^2
(2)积分区间[π/3，π/2]，被积函数(1/2)*(3cost)^2