Question

请描述一下常微分方程中hopf分歧的定义~谢谢啦

Answer 1

hopf分岔是一种局部分岔
一开始 你求方程静态解。就是让二阶导数 一阶导数为0，可以求出x=。。。。
然后你把原方程线性化，可以得到一个雅可比矩阵（二维以上，或二维以上），把x带进去
再求矩阵的eigenvalue 如果所有实部都小于0 那就是稳定的 static equlibrium point
hopf分岔的特征是在这个分岔点 只有一对共轭特征值 记住 是一对特征值 共轭的 他们的实部同时变成0 其他的特征值还是都小于0. 那么这个x就是instable equilabrium point, 意义就是如果有一个小小的扰动 deltax，x都会永久性的离开那个平衡点，跃迁到一个周期解的轨道。
与此同时这个周期解是个稳定解， 他其中一个floquet-multiplitier的模为1，其余都小于1.
也就是说hopf分岔，是一个periodic solution和一个static equilibrium point互相交换stability的过程
和其他分岔区分的特征就是
一对雅可比矩阵的共轭特征值纯虚。