Question

一道初一几何题

如图D、E、F分别是△ABC的三边上的点,CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC

Answer 1

证明：
作DQ⊥BF，交FB点为Q
作DP⊥CE, 交CE点为P
∵△DCE和△DBF的面积相等
即1/2DQ*BF=1/2DP*CE
又∵BF=CE
∴DQ=DP
∵DQ⊥BF，DP⊥CE
∴∠DQB=∠DPC=90°
∴AD平分∠BAC（角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题）
PS:小朋友。。我回答的算是比较完整的。。看懂了不。。

Answer 2

过D点作AB、AC的垂线，因为两个小三角形面积相等，所以这两个新作的高就相等，点到角的两边距离相等，说明点在这个角的平分线上。

Answer 3

三角形面积等于1/2底*高，因为，△DCE和△DBF的面积相等，CE=BF，所以，CE和BF为底的高相等。
即以D 为顶点，向CE和BF两边做高DM和DN是相等的。
所以AD平分∠BAC （角平分线的特征或者再用个全等证明，直角三角形HL定理）

Answer 4

证明：从D点向BF,CE做垂线，分别为DM,DN
因为△DCE和△DBF的面积相等
所以DM=DN
因为角分线上的点到角两边的距离相等
所以AD平分∠BAC