Question

第十五题不会求大神帮忙

Answer 1

充分必要条件。
根据导数的定义
F'(0)=lim x→0 [F(x)-F(0)]/(x-0)
=lim [f(x)(1+|sinx|)-f(0)]/x
1.证充分
设f(0)=0
F'(0)=lim [f(x)(1+|sinx|)-f(0)]/x
当x→0-
F'(0)=lim [f(x)(1-sinx)-f(0)]/x
洛必达法则
=lim [f'(x)(1-sinx)-f(x)cosx]/1
=f'(0)
当x→0+
F'(0)=lim [f(x)(1+sinx)-f(0)]/x
洛必达法则
=lim [f'(x)(1+sinx)+f(x)cosx]/1
=f'(0)
所以左导数=右导数，F'(0)存在。
2.证必要
设F'(0)存在
即F'(0+)=F'(0-)
当x→0-
F'(0)=lim [f(x)(1-sinx)-f(0)]/x
洛必达法则
=lim [f'(x)(1-sinx)-f(x)cosx]/1
=f'(0)-f(0)
当x→0+
F'(0)=lim [f(x)(1+sinx)-f(0)]/x
洛必达法则
=lim [f'(x)(1+sinx)+f(x)cosx]/1
=f'(0)+f(0)
所以f'(0)-f(0)=f'(0)+f(0)
即f(0)=0
综上，为充分必要条件。