Question

偏导数是一个整体记号，不能看成一个微分的商。可是他们确实有关系，在下见识有限，特来求助

Answer 1

解答:

其实，偏导数中的∂，意义还是“无限小增量”；
∂u/∂x还是微商，跟dy/dx的微商是一样的意义。

区别在于：
一：
dx这一“无限小的增量”是由x的无限小的增量dx所导致；
du这一“无限小的增量”可能由dx导致，可能由dy导致，可能由dz导致，......
也可能是它们的几个变量的微小增量共同导致，也可能是所有变量集体导致。

正是因为这样，
(∂u/∂x)dx才表示这是由于x的无限小增量dx所单独引起的u的无限小的增量；
(∂u/∂y)dy才表示这是由于y的无限小增量dy所单独引起的u的无限小的增量；
(∂u/∂z)dz才表示这是由于z的无限小增量dz所单独引起的u的无限小的增量；
........................................................

所以，
偏导数是一个整体记号，如 ∂/∂x，表示对x求偏导，∂/∂y，表示对y求偏导。
这种说法本身没有错。数学上将它们称为“算子”，或“算符”，operator。

但是过份强调，就错了！因为当它跟具体的函数u向作用时，∂u/∂x就是表示
由于x的无限小变化，单独引发的u的无限小的变化，这种牵连在一起的变化率，
它的实质就是微商！可惜的是太多的教师，死教书，教死书，他们自己囫囵吞
枣，也要求学生死记硬背。太多太多的教师，喜欢y', 而不喜欢dy/dx的表达法
(notation)，他们自己葬送了悟性，使得学生也成为陪葬品。从y'开始，过多
的使用y'，就埋下了祸根，可是太多太多太多的教师，没有从心理学角度反省
我们的教学法，一反省就是“不爱国”，近乎于疯狂的程度，完全没有学术讨论
的空间，讨论者千夫所指，万民共诛。科学的中心来到咱们的国度遥遥无期。

二：
∂与d经常是联系在一起使用的，例如一个长方体受热膨胀时，各个方向的膨胀
系数一定是不一样的，如果单独在x方向而言，由于在x方向的膨胀速度所导致
的体积的增量的时间变化率(rate of change in volume with respect to
rate of change in x)是：
dv/dt = (∂u/∂x)(dx/dt) + (∂u/∂y)(dy/dt) + (∂u/∂z)(dz/dt) = (∂u/∂x)(dx/dt)。

这样的表达，谁敢说错？？
那楼主问问你们的老师，你老师的说法还成立吗？
这里面∂x与dx意义上不是完全一致？仅仅是一个不可分开的符号？
看看那些老师怎么扯吧，我们不得不“横眉冷对”。

好了，加油！老的一辈很快就会成为历史，未来是你们的，你们的未来你们自己把握！

说明：
在英语为教学语言的教学中，导数与微分一般不加区分，都用differentiation,
而derivative才明确表示“求导”。这种情况非常普遍，如化学中，单质与
元素也是不分的，都用element.

我们的前辈将“导数”与“微分”概念的区分，是我们的进步。但是我们的
过份强调，就是我们的愚蠢，我们的罪过，会摧毁学生的悟性。

当然，英文教学中也有类似的弊端，如y = 1/x，只要老师过份强调“never touch，never touch，never touch”，一定葬送学生对极限的悟性。
这是异曲同工！

教师说错了吗？没有。教师这样强调对吗？大错特错！
因为他不懂教育心理学，他不懂教学法。
他是一边在认认真真地教学，一边又在认认真真地摧毁学生的悟性！

这样的教师俯拾即是，中外皆然。

Answer 2

这个问题在同济的教科书里面仅仅说了不能，但没有说为什么。
我只在一本很老的教材里面看到过，借一个具体的例子讲了为什么。
这本书图书馆里应该还有，斯米尔诺夫的《高等数学教程》，第一卷，第一册。