Question

线性代数，

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|λ+3 1 2|
|λ λ-1 1|
|3(λ+1) λ λ+3|
|A| = (λ-1)(λ+3)^2 + 3(λ+1) + 2λ^2 - 6(λ+1)(λ-1) - λ(λ+3) - λ(λ+3)
= λ^2 (λ-1)
当 λ ≠ 0，且 λ ≠ 1 时， |A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
当 λ = 0 时，(A, b) =
[3 1 2 0]
[0 -1 1 0]
[3 0 3 3]
初等行变换为
[3 1 2 0]
[0 -1 1 0]
[0 -1 1 3]
初等行变换为
[3 1 2 0]
[0 -1 1 0]
[0 0 0 3]
r(A) = 2, r(A, b) = 3, 方程组无解。
当 λ = 1 时，(A, b) =

[4 1 2 1]
[1 0 1 1]
[6 1 4 3]
初等行变换为
[1 0 1 1]
[0 1 -2 -3]
[0 1 -2 -3]
初等行变换为
[1 0 1 1]
[0 1 -2 -3]
[0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组有无穷多解。
此时方程组化为 x1 = 1-x3, x2 = -3+2x3
取 x3 = 0, 得特解 (1, -3, 0)^T；
导出组是 x1 = -x3, x2 = 2x3，
取 x3 = 1, 得基础解系 (-1, 2, 1)^T，
通解是 x = (1, -3, 0)^T + k (-1, 2, 1)^T。