Question

指数函数问题

已知对任意x∈R，不等式1/2^(x^2+x) >(1/2)^(2x^2-mx+m+4)恒成立，求m的取值范围（m∈R）

请写一下过程

Answer 1

0<1/2<1
所以(1/2)^x是减函数
所以及x²+x<2x²-mx+m+4恒成立
x²-(m+1)x+m+4>0
二次函数恒大于0
则开口向上，这里符合
且最小值大于0
所以和x轴没有交点
所以判别式小于0
m²+2m+1-4m-16<0
m²-2m-15<0
(m-5)(m+3)<0
-3<m<5

Answer 2

y=1/2^x在定义域上恒为减函数，这是指数函数a<0的性质
所以1/2^(x²+x) >(1/2)^(2x²-mx+m+4)恒成立
则x²+x<2x²-mx+m+4恒成立
x²-(m+1)x+m+4>0恒成立
Δ=(m+1)²-4(m+4)<0恒成立
m²-2m-15<0恒成立
(m+3)(m-5)<0恒成立
-3<m<5