Question

高数求极限中遇到对数怎么做？

Answer 1

都和重要极限 e 有关。
1）记
f(x) = [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)，
则
lim(x→0)lnf(x)
= lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x (0/0型，用洛必达法则)
= lim(x→0)[(a^x)lna+(b^x)lnb+(c^x)lnc)/(a^x+b^x+c^x)
= (lna+lnb+lnc)/3
= ln(abc)^(1/3)，
即
lim(x→0)f(x) = (abc)^(1/3)。

2）记
g(x) = (sinx)^tanx
则
lim(x→π/2)lng(x)
= lim(x→π/2)tanxlnsinx
= lim(x→π/2)sinx*lim(x→π/2)(lnsinx/cosx) (0/0)
= 1*lim(x→π/2)[(cosx/sinx)/(-sinx)]
= 0，
所以
lim(x→π/2)g(x) = 1。