Question

高数定积分1和7题

Answer 1

（1）利用三角换元：设x=sint，x∈(0,1/2)，所以t∈(0,π/6)，dx=costdt
带入原式=∫sin²t/cost*costdt=∫sin²tdt （二倍角公式：cos2t=1-2sin²t）
=1/2∫(1-cos2t)dt =1/2t-1/4sin2t|(0,π/6)=π/12-√3/8
(7)设√(3x+1)=t，t∈(2,4)则x=1/3(t²-1)，dx=2t/3
带入原式=∫t/(1/3(t²-1))*2t/3dt=∫2t²/(t²-1)dt=2∫(t²-1+1)/(t²-1)dt=2∫(1+1/(t²-1))dt
裂变法：1/(t²-1)=1/(t-1)(t+1)=1/2[1/(t-1)-1/(t+1)]
所以原式=2t+ln(t-1)-ln(t+1)|(2,4)=4+ln3-(ln5-ln3)=4+2ln3-ln5