Question

高中数学,题不难，就是其中仍有不明白的点，请回答者尽量的详细的步骤。

1）已知函数f(x)=x^2+ax+3在区间[-1,1]上的最小值，m为-3，求实数a的取值。
2）函数y=|x-3|-√(x+1)^2 有 最小值，最大值分别为多少。
3）对于每一个实数x,f(x) 是y=2-x^2和y=x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值是多少？
4) 函数f(x)=x^2+2x+3在区间[t,t+1]上的最小值记做g(t),求g(t)解析式.

Answer 1

一楼结果完全正确，这里我再解析一下：
1．在讨论含字母常数的二次函数的最值时，要先求出其对称轴，f(x)=x^2+ax+3==(x-a/2)^2+3-a^2/4，函数为开口向上的抛物线，然后根据题意，讨论对称轴在给定区间不同位置时的各种情况
由题意
∵函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3
当a/2<=-1时，f(x)在[-1,1]内单调增，函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为f(-1)=4-a=-3==>a=7
当-1<a/2<1时，函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为3-a^2/4=-3==>a=±2√6
∵-2<a<2，∴二者矛盾
当a/2>=1时，f(x)在[-1,1]内单调减，函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为f(1)=4+a=-3==>a=-7
综上：a=7或-7

2．函数y=|x-3|-√(x+1)^2等价于y=|x-3|-|x+1|
对这类函数可分段讨论，然后汇总结论
当x<=-1时f(x)=3-x+x+1=4
当-1<x<3时f(x)=-x+3-x+1=-2x+2
当x>=3时f(x)=x-3-x-1=-4
∴最小值为-4，最大值为4

3．由题意，x-2+x^2<0==>-2<x<1
可知f(x)=2-x^2为开口向下的抛物线
当x<=-2时，f(x)=2-x^2；当-2<x<1时，f(x)=x；当x>=12时，f(x)=2-x^2；
显然，f(x)最大值f(1)=1

4．f(x)=x^2+2x+3=(x+1)+2
f(x)对称轴为=-1，最小值为2
将对称轴与给定区间[t,t+1]比对
当t>=-1时，f(x)在[t,t+1]内单调增，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值为g(t)=f(t)=t^2+2t+3
当-2<t<-1时，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值为g(t)=2
当t<=-2时，f(x)在[t,t+1]内单调减，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值为g(t)=f(t+1)=t^2+4t+6

Answer 2

1,假设抛物线顶点横坐标在[-1,1]内
则-2=<a=<2,a^2<=4,
则f(x)=(x-a/2)^2+>=3-a^2/4》=3-1=2，与已知矛盾
所以顶点横坐标不在[-1,1]内
假设所以顶点横坐标<-1,这时a/-2<-1,a>2
则f（x）在[-1,1]内单调增加，所以f(-1)=3,解得1-a+3=-3,a=7
假设所以顶点横坐标<-1,这时a/-2>1,a<-2
则f（x）在[-1,1]内单调减小，所以f(1)=3,解得1+a+3=-3,a=-7
综合得a=7或-7

2，
x>=3时f(x)=x-3-(x+1)=-4
-1<x<3时f(x)=-x+3-(x+1)=-2x+2
x<=-1时f(x)=-x+3+x+1)=4
最小值，最大值分别为-4.4

3,
y=2-x^2开口朝下y=x单调递增
f(x)最大值是=2-x^2和y=x这两个函数的第二个交点既f(1)=1

4,
f(x)=x^2+2x+3的顶点是（-1，2）
当t+1<=-1时，t<=-2,g(t)=f(t+1)=t^2+4t+6
当t<-1<t+1时，-2<t<-1,g(t)=2
当t>=-1时，g(t)=f(t)=t^2+2t+3