Question

求解答一道几何题

在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2016，取AC上点D使得AD=588．△ABC内切圆切AC于E，交BD于F，G若BF=DG，则DE= ． ．

Answer 1

如图，显然AO⊥BD，交于H，（内切圆）FH=HG，BH=HD，<BDA=45=<ABD

DE==x

OE=AE=588-x，OH=AH-AO=AD/(根号2）-AE根号2=588/(根号2)-（588-x)根号2

HD=AD/(根号2)=588/（根号2)

△OHD、△OED

OH²+HD²=OD²=OE²+DE²

代入解x

Answer 2

为了便于比较，我用二楼的图。AO⊥BD不是显然的，因为A,O,H三点共线需证明。
下面用解析法。
以AB,AC为x,y轴建立直角坐标系，设B(b,0),DE=c,则
BC=√(b^2+2016^2),
△ABC的内切圆半径(AB+AC-BC)/2=AE,即[b+2016-√(b^2+2016^2)]/2=588-c，①
O(588-c,588-c)到BC:x/b+y/2016=1,即2016x+by-2016b=0的距离为
[2016b-2016(588-c)-b(588-c)]/√(2016^2+b^2)=588-c.②
把①代入②*2√(b^2+2016^2)]，得4032b-(2016+b)[b+2016-√(b^2+2016^2)]
=[b+2016-√(b^2+2016^2)]√(b^2+2016^2),
4032b(b+2016)-4032b√(b^2+2016^2)-(b+2016)^2=-b^2-2016^2,
4032b(b+2015)-4032b√(b^2+2016^2)=0,
两边都除以4032b,得b+2015=√(b^2+2016^2)]，
平方，化简得4030b=4031,b=4031/4030,
代入①，c=588-[4031/4030+216-√(4031^2/4030^2+2016^2)]/2
≈587.

追问

可以

追答

设△ABC内切圆O切AB于I,作OH⊥BD于H,连OB、OD、OE、OI.
由垂径定理，FH=HG,又BF=DG,
∴BH=HD,
∴OB=OD.
易知OI⊥AB,OE⊥AC,OE=OI,
∴△OBI≌△ODE,
∴BI=DE.
又∠A=90°，
∴四边形OIAE是正方形，AI=AE,
∴AB=AD=588，
由勾股定理，BC=√(2016^2+588^2)=2100,
∴AE=(AB+AC-BC)/2=252，
∴DE=AD-AE=336.