Question

一道高数微分方程问题

dy/dx - y/x = xsinx
为什么 y = x(∫sinxdx+C)

Answer 1

y=x(∫sinxdx+c)=x(-cosx+c)=-xcosx+cx............①;
y'=dy/dx=-cosx+xsinx+c...........②
将①②代入原式：
左边=-cosx+xsinx+c-(-xcosx+cx)/x=-cosx+xsinx+c+cosx-c=xsinx=右边。
∴ y=x(∫sinxdx+c)。

追问

你好，我感觉你这个解法怎么有点像倒着解，不是太理解。
可以用书上的方式来解吗？书上是根据下面这个公式来解的，
根据这个公式怎么得到 y = x(∫sinxdx+C) ？
y=e^{∫(-1/x)dx}[∫xsinxe^{∫(1/x)dx}dx+C]

追答

因为你是问为什么y = x(∫sinxdx+C)，
我的回答是：因为它满足原方程，所以y = x(∫sinxdx+C)；
如果你问这个解是怎么来的？当然就可以正着解啦。
我建议你别用这个公式。此公式既不好记，又不好用。
下面用常数变异法求解：先求齐次方程: dy/dx-y/x=0的通解：
分离变量得：dy/y=dx/x，积分之得 lny=lnx+lnc=lncx；
故齐次方程得通解为y=cx；将积分常数c换成x的函数u，得y=ux.........①
对①取导数得：y'=u+xu'........②；将①②代入原式得：u+xu'-u=xu'=xsinx
故du/dx=sinx；∴u=∫sinxdx，代入①式即得原方程的通解为：y=x∫sinxdx.
积分常数c应该在积分∫sinxdx求出后再加。