Question

三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,如果a^2=b(b+c),求证A=2B

Answer 1

如图，延长CA到点D使AD=c，因为a^2=b(b+c)，且有公共角C，所以三角形CBA相似于三角形CDB，进而得知角B=角D，而角A是等腰三角形顶角的外交，所以角A=2角D=2角B

Answer 2

用余弦定理：

cosA = ( b^+c^-a^ )/ 2bc = (c-b)/2b
cosB = ( a^+c^-b^ )/ 2ac = (b+c)/2a

cos2B = 2(cosB)^-1 = (c-b)/2b

也即：cosA = cos2B

又 a^=b^+ bc , 所以a大于b 2B小于180度

A和2B都小于180度，只能是A=2B