Question

微分方程y'+ytanx=cosx的通解

用公式y=e^(-∫tanxdx)[∫cosxe^(∫tanxdx)dx]怎么化简成最后答案y=(x+C)cosx

Answer 1

微分方程y'+ytanx=cosx的通解：

|先求齐次方程y'=-y tanx

dy/y=-tanx dx=-sinx/cosx dx=d(cosx)/cosx

即ln|baiy|=ln|cosx|+ln|C|

得y=C cosx

由常数变易法，令y=C(x) cosx

y'=C'(x)cosx-C(x)sinx

带入du原方程zhi得

C'(x)=1

C(x)=x+C

故原方程的通解为y=(x+C)cosx

扩展资料：

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

Answer 2

计算过程如下：

对应齐次方程为y'+ytanx=0

dy/y=-tanxdx

ln|y|=ln|cosx|+ln|c1|

y=c1cosx

用常数变易法

设y=ucosx

dy/dx=u'cosx-usinx

代入所给非齐次方程

得u'=1，u=x+c

所以所求方程的通解为：y=（x+c）cosx

微分方程的唯一性：

给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在，指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

y'+y*sinx/cosx=cosx
cosx*y'+y*sinx=(cosx)^2
(ycosx)'=(cosx)^2=(cos2x+1)/2
现在可以了吧？

Answer 5

y=e^(-∫tanxdx)[∫cosxe^(∫tanxdx)dx + C]
= e^(lncosx) [∫cosxe^(-lncosx)dx + C]
= cosx [∫dx + C]
= (x+C)cosx

追问

为什么(-∫tanxdx)化简后的不定积分不含c？

追答

一阶微分方程通解只有一个积分常数，已加在求通解公式中。再加就多余且不应加。