高等数学证明题
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令f(x)=x^p+(1-x)^p，则f(x)在[0,1]上连续可导
f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=p*[x^(p-1)-(1-x)^(p-1)]
因为x^(p-1)单调递增，(1-x)^(p-1)单调递减
所以只存在唯一的x0∈[0,1]，使得f'(x0)=0。易知，x0=1/2
当0<=x<1/2时，f'(x)<0，当1/2<x<=1时，f'(x)>0
所以f(1/2)=1/2^(p-1)是最小值，f(0)=f(1)=1是最大值
即1/2^(p-1)<=x^p+(1-x)^p<=1，证毕
f'(x)=px^(p-1)-p(1-x)^(p-1)=p*[x^(p-1)-(1-x)^(p-1)]
因为x^(p-1)单调递增，(1-x)^(p-1)单调递减
所以只存在唯一的x0∈[0,1]，使得f'(x0)=0。易知，x0=1/2
当0<=x<1/2时，f'(x)<0，当1/2<x<=1时，f'(x)>0
所以f(1/2)=1/2^(p-1)是最小值，f(0)=f(1)=1是最大值
即1/2^(p-1)<=x^p+(1-x)^p<=1，证毕
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