Question

设二阶矩阵A=（2 -4，-3 3）求矩阵A的特征值和特征向量

Answer 1

解: |A-λE|=

-1-λ 4 3

-2 5-λ 3

2 -4 -2-λ

r1-r2

1-λ -1+λ 0

-2 5-λ 3

2 -4 -2-λ

c2+c1

1-λ 0 0

-2 3-λ 3

2 -2 -2-λ

= (1-λ)[(3-λ)(-2-λ)+6]

= (1-λ)(λ^2-λ)

= -λ(1-λ)^2

所以A的特征值为0,1,1.

AX=0的基础解系为: (1,1,-1)^T

所以A的属于特征值0的特征向量为: c1(1,1,-1)^T, c1为任意非零常数。

(A-E)X=0的基础解系为: (2,1,0)^T, (3,0,2)^T

所以A的属于特征值1的特征向量为: c2(2,1,0)^T+c3(3,0,2)^T,

c2,c3为任意不全为零的常数。

扩展资料

特征值与特征向量之间关系：

1、属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

2、相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。

3、设x是矩阵a的属于特征值1的特征向量，且a~b，即存在满秩矩阵p使b=p(-1)ap，则y=p(-1)x是矩阵b的属于特征值1的特征向量。

4、n阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是：矩阵有n个线性无关的分别属于特征值1，2，3...的特征向量（1，2，3...中可以有相同的值）。

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立。

参考资料来源：百度百科-特征值

参考资料来源：百度百科-特征向量

Answer 2

|A-λE|=
-1-λ 4 3
-2 5-λ 3
2 -4 -2-λ
r1-r2
1-λ -1+λ 0
-2 5-λ 3
2 -4 -2-λ
c2+c1
1-λ 0 0
-2 3-λ 3
2 -2 -2-λ
= (1-λ)[(3-λ)(-2-λ)+6]
= (1-λ)(λ^2-λ)
= -λ(1-λ)^2
所以A的特征值为0,1,1.
AX=0的基础解系为:(1,1,-1)^T
所以A的属于特征值0的特征向量为:c1(1,1,-1)^T,c1为任意非零常数.
(A-E)X=0的基础解系为:(2,1,0)^T,(3,0,2)^T
所以A的属于特征值1的特征向量为:c2(2,1,0)^T+c3(3,0,2)^T,
c2,c3为任意不全为零的常数.