Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0，并且当x∈(1,2)时

f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数，求证m≤0或m≥1
连起来
要求向西的求解过程 每个知识点最好都有 追加分

Answer 1

（1）答案为1(下面是解答，a2表示a的平方）
解：f(-1)=a-b+c=0得a+c=b两边平方得a2+2ac+c2=b2两边同时减4ac得b2-4ac=a2-2ac+c2(a-c)2≥0；
f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0，函数恒大于0由可得(b-1)2-4ac≤0拆开得2b-1≥b2-4ac,前面已证b2-4ac=(a-c)2≥0，所以2b-1≥b2-4ac≥0；x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方，将1代入得f(1)=a+b+c≤1,又a+c=b（前面已证），
所以2b≤1， 前面有2b-1≥0，两不等式可得b=1/2。 所以f(1)=a+b+c=2b=1.

(2)证明:（1）中已证2b-1≥b2-4ac≥0又b=1/2,所以0≥b2-4ac≥0,可知
b2-4ac=0，又a+c=b,得a=1/4,c=1/4.

（3）证明：f(x)=1/4x2+1/2x+1/4.g(x)在[-1,1]单调，及单调递增或者单调递减，也就是导函数恒大于0或者恒小于0。 对g(x)求导即g'(x)=f'(x)-mx'=1/2x+1/2-m在[-1,1]恒≥0或者恒≤0。
当恒≥0时：1/2x+1/2-m≥0，m≤1/2x+1/2,m小于1/2x+1/2的最小值，将-1代入得m≤0
当恒≤0时：1/2x+1/2-m≤0，m≥1/2x+1/2,m大于1/2x+1/2的最大值，将1代入得m≥1。
知识点：1、二次函数有2个解时，b2-4ac>0,1个解时，b2-4ac=0， 无解，也就是函数曲线与X轴不相交时，b2-4ac＜0。 如题f(x)-x≥0就可知(b-1)2-4ac≤0； 2、函数的单调性，表示单调递增或者单调递减，在某一定义域内单调递增就表示这一定义域内导函数大于0， 递减就小于0， 如题（3）说函数g(x)在[-1,1]单调，就把g(x)对x求导，倒数是一个1次函数，这个1次函数在[-1,1]内不能既有正的也有负的，这样就不是单调了。
我试着写详细了些，希望你能把这道题弄懂，
第一次这么辛苦的打字，鼓励鼓励我吧，哈哈！

Answer 2

（1）因为f(x)-x≥0，所有f(x)≥x，所有f(1)≥1，因为f（x)≤((x+1)/2)平方，所有f(1)≤1,所有f(1)=1

Answer 3

(1)因为f(1)-1>=0 ， f(1)<=((1 1)÷2)^2=1 所以f(1)=1
(2) f(0)=c>0;
f(x)-x=ax^2 (b-1)x c>=0 由二次函数性质可知a>0
(3)f(1)=a+b+c=1 , f(-1)=a-b+c 可知a c=b=0.5;
g(x)=ax^2 (b-m)x c是二次函数，对称轴为x=(m-b)÷2a=(2m-1)÷4a;
g(x)在区间[-1,1]单调，由二次函数性质，对称轴不在该区间，即：(2m-1)÷4a<=-1或(2m-1)÷4a>=1;
由a c=0.5 ,a>0 ,c>0, 可知:0<a<0.5;
于是解不等式得:m<=0或m>=1 , 得证。

还有我想说的是楼上deya108，你的解答缺乏技巧性，尤其是第一问。而且我感觉这道题应该是出给初中生的，你用导数解决（3）中单调的问题，不仅把问题搞复杂了，而且对中学生不适用。