Question

三道高数题求解

Answer 1

解:
(1)任意x,f(-1+x)=a(-1+x)^3+b(-1+x)^2+c(-1+x)+d,
f(-1-x)=a(-1-x)^3+b(-1-x)^2+c(-1-x)+d,
两式相加整理0.证毕
(2)b=0f(x)=ax^3+cx+d,导数3ax^2+c,导数0x^2=-c/(3a).
值点能现位置x=0,x=1,x^2=-c/(3a).令a=kc,d=mc,则f(0)=d=mc;
f(1)=a+c+d=(k+m+1)c,f(x=根(-1/(3k)))=,讨论
f(x)的定义域是x>0,设定义域内任意0<x1<x2，则：
f(x2)-f(x1)=lnx2-lnx1+a/x1-a/x2=ln(x2/x1)+a(x2-x1)/(x1x2)
因x2/x1>1,故ln(x2/x1)>0,又a>0,则f(x2)-(x1)>0
故函数单调增加。
极值点是最小值时：
f'(x)=1/x+a/x^2， f''(x)=-1/x^2-2a/x^3
f'(x)=0时，1/x+a/x^2=0，x=-a
f(-a)=ln(-a)-a/(-a)=ln(-a)+1
若ln(-a)+1=2，则a=-e，
此时x=e在区间[1,e]内,f''(e)=1/e^2>0,即存在极小值
边界值x=1处是函数最小值时：
f(1)=ln1-a=2，则a=-2
此时极值点f(-a)=f(2)=ln2+2/2=ln2+1<2，即比边界值更小，故f(1)不是函数最小值
因此a=-e