Question

证明(1+1/n)^n<e

Answer 1

利用
1+1/n=<1+1/n+1/n^2<=1+1/n+1/n^2+1/n^3+...+1/n^n=[1-(1/n)^n]/(1-1/n)<=1/(1-1/n)=n/n-1=1+1/(n-1)
[n>=2]
用夹逼定理
limn→模岁∞(1+1/n)^n=e
limn→伏闭∞(1+1/(n-1))^n=limn→缺码裂∞[(1+1/(n-1))^(n-1)]*(1+1/(n-1))=elimn→∞(1+1/(n-1))=e
左右都等于e.因此得证

Answer 2

代表的就是那个e≈2.71828
证明方法如下：
lim(n->∞)
(1+1/n)^n
=lim(n->∞)
e^[ln(1+1/n)^n]
=lim(n->∞)
e^[n*ln(1+1/n)]
=e^[lim(n->∞)
ln(1+1/n)/(1/n)]
因为lim(n->∞)
ln(1+1/n)/(1/n)是“0/耐宽0”型，所以可以运用洛必达法则
原式=e^{lim(n->∞)
[(-1/n^2)/(1+1/袜清n)]/(-1/n^2)]}
=e^[lim(n->∞)
1/告亩前(1+1/n)]
=e^1
=e