Question

求这道打勾的高数题的详细解答过程

Answer 1

求齐次方程 xy'-y-√(y²-x²)=0的通解；
解：xy'-y-y√[1-(x/y)²]=0.........①；令x/y=u，则y=x/u...........②；y'=(u-xu')/u²...........③
将②③代入①式得：
x(u-xu')/u²-(x/u)-(x/u)√(1-u²)=-x²u'/u²-(x/u)√(1-u²)=-(x/u)[(xu'/u)+√(1-u²)]=0
由-x/u=0得x=0也是一个解；由(xu'/u)+√(1-u²)=0； 分离变量得：du/[u√(1-u²)]=-dx/x；
积分之：∫du/[u√(1-u²)]=-ln{[1+√(1-u²)]/u}=-lnx+lnc=ln(c/x);
故得u/[1+√(1-u²)]=c/x，将u=x/y代入得：(x/y)/{1+√[1-(x/y)²]=c/x;
即有 x/[y+√(y²-x²)]=c/x；或写成：x²=c[y+√(y²-x²)]就是原方程的通解。

Answer 2

如图