Question

高数的函数极限 证明当x→x0时，lim sinx=sinx0的一个疑惑

证：对任意给ε
| f（x）-sin x0 |
=| sin x-sin x0 |
=| 2cos（（x+x0）/2 ） · sin （（x-x0）/2）|
≤2| sin（x-x0）/2 |
到这里我就有点不明白了，cos（（x+x0）/2 ）的范围
小于等于1我能理解，但为什么也不顺便sin的也去掉呢？
它的取值范围不也是小于等于1？
难道说是因为sin （（x-x0）/2）这个值无限接近0？

Answer 1

对于用定义证明函数极限，有两点是需要特别注意的：
1.对|f(x)-f(x0)|总是采取放大处理，即总是|f(x)-f(x0)|≤……≤……，过程中不得出现≥ ！
2.无论对|f(x)-f(x0)|进行怎样的放大变形，最终总是要化成A|x-x0| (A为常数)的形式！
题主所问为什么不连同|sin(x-x0)|一起化掉，原因就在于一旦化掉，就再也没有|x-x0|了，当然也就实现不了2中所说的做到|f(x)-f(x0)|≤…≤A|x-x0|了，自然也就无法完成证明了。

Answer 2

最终目标不得含x的式子小于ε么，怎么能全都放缩呢，sinx<=x啊这样才能接着证明啊

追问

还是有点不太懂，我要是全缩放了，不直接小于等于2了吗？

追答

？？那看来您函数极限证明的含义没理解明白啊，建议好好看书。做差、取绝对值、取任意ε的目的都是什么，这都是极限证明的定义性问题。
新学就要先把定义搞清楚，理解什么叫做在一点处的极限