Question

如果实数X,Y满足关系：X²+Y²-2X+4Y-20=0，则X²+Y²的最小值是,详细过程

Answer 1

X²+Y²-2X+4Y-20=0
(x-1)²
+
(y+2)²
=
25
=
5²
从坐标系上看，xy就是以O'（1，-2）为圆心，半径是5的一个圆。x²+y²就是圆上的点到原点O的距离。于是可知原点在圆内。根据圆的特性，这个最短距离就是OO'和圆在第2象限的交点。直线OO'的方程是
y=-2x。
带入，得到
x
²-2x-4=0，解得
x=1-根5
（第2象限），x²=6-2根5，
x²+y²
=
5x²
=
30-10根5。

Answer 2

将原方程化为（x-1）2+（y+2）2=25，即为以（1，-2）为圆心，5为半径的圆，而x2+y2则为此圆上的点到原点距离的平方，所以为（5-根号5）2。