Question

高数等价代换求极限问题，谢谢！

如图求极限，为什么我的两种方法都不对呢？

Answer 1

两种做法犯的是同一个错误，求极限具有同时性，不能单独求出一部分极限，除非是因子。

正确解法如下：

追问

您好，正确解法我知道。
你说因子才能单独求出，我第一种方法就是整个分子的等价代换啊，(1+无穷小）的无穷大次方等价于e的(无穷小×无穷大)次方。这里我还是不明白，求解答谢谢谢谢！

追答

你两种解法本质上是一样的，我也不明白你哪来的这个代换公式。

追问

第一个公式是武忠祥那本全书上的，如果你说两种错的点相同，那这个就不必深究。那看第二个解法，我的等价代换就是代在因子上的呀，是我理解错了吗？您看看

追答

它不是整个分子的因子，只是指数的一个因子，所以不可以代换

追问

追答

看黄色标记

追问

好基础的东西忘了，感谢你的耐心解答，非常感谢你！

Answer 2

方法①理解有偏差，是因为“x→∞，lim(x→∞)(1+1/x)^x=e”表述的是，当x→∞的变化过程中，(1+1/x)^x在无限地“接近”常数e，而非变化过程中就是“常数e”。
方法②错在等价无穷小量替换时，替代式的项数取少所致【∵t→0时，ln(1+t)=t+O(t)=t-t²/2+O(t²)=t-t²/2-t³/3+O(t³)=…。∴t、t-t²/2、t-t²/2-t³/3、…，均为ln(1+t)的等价无穷小量替换量。一般而言，题中出现的变量的最高次数n，就是应取替换量表达式的前n项即可】。
本题中，出现了“x²”项，即次数n=2，取ln(1+1/x)~(/1x)-1/(2x²)即可。∴原式=e^(-1/2)。
供参考。