Question

(2010•南通模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2...

(2010•南通模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量m=(cos(A-C)，1)和n=(1，cosB)满足m•n=32. (1)求sinAsinC的值; (2)求证:三角形ABC为等边三角形.

Answer 1

解答:(1)解:由m•n=
3
2
得，
cos(A-C)+cosB=
3
2
，
又B=π-(A+C)，得cos(A-C)-cos(A+C)=
3
2
，
即cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=
3
2
，
所以sinAsinC=
3
4
.
(2)证明:由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，
故sin2B=
3
4
.
于是cos2B=1-
3
4
=
1
4
，
所以cosB=
1
2
或-
1
2
.
因为cosB=
3
2
-cos(A-C)＞0，
所以cosB=
1
2
，故B=
π
3
.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
即b2=a2+c2-ac，
又b2=ac，
所以ac=a2+c2-ac，
得a=c.
因为B=
π
3
，
所以三角形ABC为等边三角形.