Question

二重积分，请问这几道题怎么写？

写填空题就可以，求一个步骤。谢谢。

Answer 1

(1). 由于两个二重积分的积分域都是以x轴，y轴为直角边，以x+y=1为斜边的直角三角形。

在此三角形内(含两个直角边)所有的点都满足x+y<1；只有斜边上的点满足x+y=1；因此

(x+y)²≧(x+y)³；∴I₁≧I₂；

(2). 积分域D是圆心在原点，半径为2的圆，其面积S=4π; 被积函数z=x²+y²+1是以z轴为

轴线的旋转抛物面, 其最低点的坐标为(0，0，1)；其最高点是该旋转抛物面与柱面x²+y²=4

的交线：z=4+1=5；∴该积分的值满足不等式：4π<I<20π;

(3).积分域D是矩形域：0≦x≦1，0≦y≦2，其面积S=1×2=2; 被积函数 z=x+y+1是一张平面，

设矩形域D的四个顶点依次为：0(0，0，0)，A(1，0，0)；B(1，2，0)；C(0，2，0);

以此矩形为底面的长方体被平面z=x+y+1所截，截后的四个相应的顶点的坐标为：

0₁(0，0，1)；A₁(1，0，2)；B₁(1，2，4)；C₁(0，2，3)；那么此柱体0ABC-0₁A₁B₁C₁

的体积就是该积分的值。此体积求起来很麻烦，还不如直接积分来的痛快。