Question

求数列的通项公式

己知数列A1=2，A2=5,递推公式：A(n+2)=3A(n+1)-5An。
（1）求数列的通项公式，及A20，
（2）数列的求和公式，及前十项的和。

Answer 1

a1=2，
a2=5,
a3=3a2-5a1
a4=3a3-5a2
……
an=3a(n-1)-5(n-2)
两边相加:
Sn=3S(n-1)-3a1-5S(n-2)

追答

Sn=3[Sn-an]-6-5[Sn-an-a(n-1)]
Sn=3Sn-3an-6-5Sn十5an十5a(n-1)
3Sn=2an十5a(n-1)-6
Sn=2an/3十5a(n-1)/3-2
3an-5a(n-1)十3S(n-1)=2an-6
a(n十1)十3S(n-1)=2an-6
S(n-1)=2an/3-a(n十1)/3-2

追问

这个要代入通项公式

追答

这类相邻三项满足一个常系数一次方程的问题，有一个通用解法。

设a(n十1)十αan=β[an十αa(n-1)]
bn=a(n十1)十αan
bn=βb(n-1)
得到一个等比数列{bn}，公比β，
这个数列每一项都能求出来。以此数列为中介，就可以得到原数列的答案。

α，β是一个一元二次方程的两个根，可能有开平方的无理数，甚至可能是复数，不要怕，选一个为α，另一个为β，就得到问题的表达式。

本题:
a(n十1)-αan=β(an-αa(n-1))
a(n十1)=(β十α)an-αβa(n-1)
对比给出的式子，得到:
β十α=3
αβ=5
α、β是下列方程的两个根:
x²-3x十5=0
α、β=[3±√(3²-20)]/2
=[3±i√11]/2

可取α=[3-i√11]/2
β=[3十i√11]/2

b1=a2-αa1=5-2α
bn=b1β^(n-1)
{bn}前n项和
Tn=b1(β^n-1)/(β-1)

α，β是一个2次方程的两根，地位对等，可以互换，得到另一个等比数列{cn}
cn=a(n十1)-βan
c1=a2-βa1
cn=c1α^(n-1)

{cn}前n项和Vn=c1(α^n-1)/(α-1)

bn-cn=(β-α)an
an=(bn-cn)/(β-α)
就是通项公式

Tn-Vn=(β-α)Sn
Sn=[Tn-Vn]/(β-α)
就是前n项和的公式

Answer 2

已经不想做你这题了，两次数据错误。刚刚那个也是

追问

那个打错个字

追答

自己看吧

数据错误，自己算。下面关系式错误。

追问

这个没有错，

追答

来加我

我给你说哪里错了

自己算一算2 5 5 -10 -55

an=3a(n-1)-5(n-2)上面那个人给的通项，但是这不是通项。通项是表达式，这不是。你这个题有错误，数据不对。

追问

这个题数据没问题，每一项代入递推公式去求，有些项数为负。

这个题通项公式也可以求出，可能比较复杂。

A（n+1）=[1/√（-11）]{[2+√（-11）][1.5+0.5√（-11）]^n-[2-√（-11）][1.5-0.5√（-11）]^n}

其中√（-11）是虚数，i√11。

Answer 3

无解呀，再看看题目

追问

有解，只是有些项为负数

A（n+1）=[i/√（11）]{[2+i√（11）][1.5+0.5i√（11）]^n-[2-i√（11）][1.5-0.5i√（11）]^n}