Question

已知常数A和B 已知lim(x->0)(2arctanx-ln((1+x)/(1-x))/sinx^A=B

书上给的答案是A=3 B=-4/3

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

分子是0，如果B=0则必有A=0.
若B≠0，那么A≠0。此时原式
=lim(x->0)(2arctanx-ln((1+x)/(1-x))/x^A
【等价无穷小代换】
=lim(x->0)(2arctanx
-ln(1+x)+
ln(1-x))/x^A
=lim(x->0)(2/(1+x²)
-1/(1+x)+
1/(x-1))/[A·x^(A-1)]
【洛笔答法则】
=lim(x->0)(2(x²-1)
+(
(x+1)-(x-1)
)·(1+x²)
)/[A·(x²-1)·(x²+1)x^(A-1)]
=lim(x->0)(4x²)/[A·(x²-1)·(x²+1)x^(A-1)]
=4·lim(x->0)
1/[A·(x²-1)·(x²+1)x^(A-3)]
如果这个极限存在，则必有A-3=0.
A=3.
则B=4·lim(x->0)
1/[3·(x²-1)·(x²+1)·1]=-4/3。