Question

高等代数的一道题目，求详细解答

Answer 1

说明，为了输入方便起见，我用 ai,bi,ci等来表示你给出的向量。
证明：
首先，等式的右边显然包含于左边，下面证明等式的左边也包含于右边。
事实上，对左边交空间的任意一个元素a，则它一定即是第一个空间的生成元的线性组合，也是第二个空间的生成元的线性组合，即
a=x(1)a(1)+...+x(m)a(m)+k(1)b(1)+...+k(n1-m)b(n1-m) (注：括号里的表示下标）
且a=y(1)a(1)+...+y(m)a(m)+z(1)c(1)+...+z(n2-m)c(n2-m)
所以
x(1)a(1)+...+x(m)a(m)+k(1)b(1)+...+k(n1-m)b(n1-m) =y(1)a(1)+...+y(m)a(m)+z(1)c(1)+...+z(n2-m)c(n2-m)
[x(1)-y(1)]a(1)+...+[x(m)-y(m)]a(m)+k(1)b(1)+...+k(n1-m)b(n1-m)+z(1)c(1)+...+z(n2-m)c(n2-m) =0
因为a(1),...,a(m),b(1),...,b(n1-m),c(1),...,c(n2-m) 线性无关，
所以x(1)-y(1)=0，...，x(m)-y(m)=0，k(1)=0,...,k(n1-m)=0,z(1)=0,...,z(n2-m)=0
所以x(1)=y(1)，...，x(m)=y(m)
故a=x(1)a(1)+...+x(m)a(m)，
可见a是右边空间的生成元的线组合，故左边空间里的任一元素都是右边空间的元素，
所以，左边也包含于右边。
两边相互包含，故他们相等。
说明：证明两个空间相等的常用方法之一就是证明他们相互包含。